Question

15．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且EG、FH均过正方形的中心O．
（1）填空：OH=OF （“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当四边形EFGH为矩形时，请问线段AE与AH应满足什么数量关系；
（3）当四边形EFGH为正方形时，AO与EH交于点P，求OP²+PH•PE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，即可得出AE=AH，或AE+AH=1；
（3）根据△OPH∽△EPA，即可得到PH×PE=OP×AP，据此可得OP²+PH×PE=OP²+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，再根据△OPE∽△OEA，即可得到OP×OA=OE²，据此可得OP²+PH×PE=OE²，最后根据OE的最小值求得OP²+PH•PE的最小值．

解答 解：（1）如图所示，∵正方形ABCD，
∴AO=CO，∠OAH=∠OCF=45°，
又∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF；
故答案为：=；

（2）当四边形EFGH为矩形时，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°，
∴∠AEH+∠AHF=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴△AEH∽△BFE，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AH}{BE}$，
令AE=x，AH=y，则BF=1-y，BE=1-x，
∴$\frac{x}{1-y}$=$\frac{y}{1-x}$，
即x-y=x²-y²=（x+y）（x-y），
∴x=y或x+y=1，
∴AE=AH，或AE+AH=1；

（3）如图所示，当四边形EFGH为正方形时，∠HOE=90°，OH=OE，
∴∠OEH=∠OHE=45°，
∴∠OHP=∠PAE=45°，
∵∠HPO=∠APE，
∴△OPH∽△EPA，
∴$\frac{PH}{AP}$=$\frac{OP}{PE}$，即PH×PE=OP×AP，
∴OP²+PH×PE=OP²+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，
∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA，
∴△OPE∽△OEA，
∴$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OE}{OA}$，即OP×OA=OE²，
∴OP²+PH×PE=OE²，
∵当OE⊥AB时，OE最小，此时OE=$\frac{1}{2}$，
∴当OE=$\frac{1}{2}$时，OP²+PH×PE最小，且等于$\frac{1}{4}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例，列式计算即可得出结论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．