Question

13．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O与边AB，BC，AC分别相切于点E，F，G．求⊙O的半径．

Answer 1

分析 如图连结OE，OF，OG．先由勾股定理求得AB=5，由⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，得到四边形CEOF是正方形，根据切线长定理列方程求解即可．

解答 解：如图连结OE，OF，OG．

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OGC=∠OFC=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠OGC=∠OFC=∠C=90°．
∴四边形ODCF是矩形．
又∵OG=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
∴CG=CF=r．
由切线长定理可知：AG=EA，BF=BE．
∴BF+AG=AE+BE=5．
∵BF+r+r+AG=7，
∴5+2r=7．
解得；r=1．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、切线的性质、正方形的判定、切线长定义，证得四边形CEOF是正方形是解题的关键．