Question

10．如图，已知△ABC中，∠A=60°，D为AB上一点，且AC=2AD+BD，∠B=4∠ACD，则∠DCB的度数是20°．

Answer 1

分析 通过作辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解．

解答 解：如图延长AB到E使BE=AD，连接CE，
∴AE=AD+DB+BE=2AD+BD，
∵AC=2AD+BD，
∴AE=AC，∵∠A=60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠E=∠ACE=60°，
∵∠B=4∠ACD，
设∠ACD=x，则∠ABC=4x，
在△ADC与△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠A=∠E}\\{AC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EBC，
∠ACD=∠ECB=x，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴4x=60°+x，∴x=20°，
∴∠BCD=60°-20°-20°=20°，
故答案为：20°

点评 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，外交的性质，列方程求解等知识点．