Question

20．已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．
（1）若∠CBD=18°，则∠BCD=42°；
（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；
（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和即可得出结论；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，利用旋转角即可得出结论；
（3）先构造等边三角形BDE，BCF，再判断出A、D、E、F四点均在一条直线上，另为判断出△AFC≌△GFB（SAS），即可得出结论．

解答 解：（1）在△BCD中，∠BDC=120°，∠CBD=18°，
根据三角形的内角和得，∠BCD=180°-∠BDC-∠CBD=42°，
故答案为42，

（2）画图如图1所示，
由旋转知∠DAD'=90°，
∵∠CAD=20°，
∴∠CAD'=∠DAD'-∠CAD=90°-20°=70°；

（3）画图如图2，
将△BDC绕点B按逆时针方向旋转60°，
到△BEF的位置．
连结DE，CF，
由旋转可知，△BDE和△BCF均为等边三角形，
∴DE=v，CF=a．
∵∠ADB=120°，∠BDE=60°，
即∠ADE=180°，
则A、D、E三点共线（即该三点在同一条直线上）．
同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°，
即∠DEF=180°，则D、E、F三点共线，
∴A、D、E、F四点均在一条直线上．
∵EF=DC=w，
∴线段AF=u+v+w．
以线段AF为边在点B一侧作等边△AFG，
则△AFG即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M．
正三角形的边长为u+v+w已证，BA=c，BF=BC=a，
下面再证BG=b．
∵∠CFB=∠AFG=60°，
即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°，
∴∠1=∠2．
在△AFC和△GFB中，
∵FA=FG，∠1=∠2，FC=FB，
∴△AFC≌△GFB（SAS），
∴AC=GB，即BG=CA=b．
从而点B（M）到等边△AFG三个顶点的距离分别为a、b、c，
且其边长为u+v+w．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的内角和，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是构造出等边三角形．