Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）在Rt△ADB中，点E是BD的中点；根据直角三角形的性质，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C；
（2）同（1），可得BD=2AE，再根据（1）的结论可得AE=AC，代换可得结论．

解答：（1）证明：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形，
又∵点E是BD的中点，
∴AE=

1

2

BD，
又∵BE=

1

2

BD，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C．

（2）证明：∵∠AEC=∠C，
∴AE=AC，
又∵AE=

1

2

BD，
∴BD=2AE，
∴BD=2AC．

点评：本题考查直角三角形的有关性质、三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．