Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．
（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=4；
（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据点B，C′，D在同一直线上得出BC′=BD-DC′=BD-DC求出即可；
（2）利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；
（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．

解答 解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，
∴BC′=BD-DC′=BD-DC=10-6=4；
故答案为：4；

（2）如图2，连接CC′，
∵点C′在AB的垂直平分线上，
∴点C′在DC的垂直平分线上，
∴CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，
设CE=x，易得DE=2x，
由勾股定理得：（2x）²-x²=6²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
即CE的长为2$\sqrt{3}$；

（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：
①当点C′在矩形内部时，如图3，
∵点C′在AD的垂直平分线上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6-2$\sqrt{5}$，
设EC=y，则C′E=y，NE=4-y，
故NC′²+NE²=C′E²，
即（6-2$\sqrt{5}$）²+（4-y）²=y²，
解得：y=9-3$\sqrt{5}$，
即CE=9-3$\sqrt{5}$；
②当点C′在矩形外部时，如图4，
∵点C′在AD的垂直平分线上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6+2$\sqrt{5}$，
设EC=z，则C′E=a，NE=z-4
故NC′²+NE²=C′E²，
即（6+2$\sqrt{5}$）²+（z-4）²=z²，
解得：z=9+3$\sqrt{5}$，
即CE=9+3$\sqrt{5}$，
综上所述：CE的长为9±3$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．