Question

求证：不论k为何实数，关于x的式子（x-1）（x-2）-k²都可以分解成两个一次因式的积．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：不论k为何实数，关于x的式子（x-1）（x-2）-k²可以分解成两个一次因式的积即关于x的方程（x-1）（x-2）-k²=0有两个实数根，则方程的根的判别式△≥0，由此可列出关于k的不等式，求出k的取值范围．

解答：证明：关于x的方程（x-1）（x-2）-k²=0整理，得x²-3x+2-k²=0，
∵△=9-4（2-k²）=1+4k²＞0，
∴不论k为何实数，关于x的方程（x-1）（x-2）-k²=0都有两个不相等的实数根，
∴不论k为何实数，关于x的式子（x-1）（x-2）-k²都可以分解成两个一次因式的积．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．