Question

如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=

n

x

相交于A、B（b，-2）两点，矩形OCDE的边CD恰好被点B平分，边DE交双曲线于F点，四边形OBDF的面积为2．
（1）求n的值；
（2）求不等式mx≥

n

x

的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）先根据矩形性质和线段中点的坐标公式得到D（2b，-2），则矩形OCDE的面积=4b，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S_△OCB=S_△OEF=

1

2

|n|=-

1

2

n，然后利用四边形OBDF的面积=矩形OCDB-S_△OCB-S_△OEF，可求出n；
（2）由于反比例解析式为y=-

2

x

，则B点坐标为（1，-2），再利用反比例函数的性质确定A点坐标为（-1，2），然后观察函数图象求解．

解答：解：（1）∵矩形OCDE的边CD恰好被点B（b，-2）平分，
∴D点坐标为（2b，-2），
∴矩形OCDE的面积=2b•2=4b，
∵S_△OCB=S_△OEF=

1

2

|n|=-

1

2

n，
而四边形OBDF的面积=矩形OCDB-S_△OCB-S_△OEF，
∴4b-（-

1

2

）-（-

1

2

n）=2，
∵-2=

n

b

，即b=-

n

2

，
∴-2n+n=2，
∴n=-2；
（2）反比例解析式为y=-

2

x

，
把y=-2代入y=-

2

x

，得x=1，
∴B点坐标为（1，-2），
∵双曲线及过原点的直线均是关于原点成中心对称的图形，
∴它们的交点也关于原点成中心对称，
∴A点坐标为（-1，2），
∴x≤-1或0＜x≤1时，mx≥

n

x

，
即不等式mx≥

n

x

的解集为x≤-1或0＜x≤1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了反比例函数的比例系数的几何意义以及观察函数图象的能力．