Question

5．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A₁BC₁；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A₂B₁C，连接C₁B₁，则C₁B₁与BC的位置关系为平行；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C₁B₁，探究C₁B₁与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B₁B，若C₁B₁=$\frac{2}{5}$BC，△C₁BB₁的面积为4，则△B₁BC的面积为10．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质、平行四边形的判定定理得到四边形A₁CA₂C₁是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
（2）过C₁作C₁E∥B₁C，交BC于E，证明四边形C₁ECB₁是平行四边形即可；
（3）根据两平行线间的距离相等求出△C₁BB₁的面积与△B₁BC的面积之比，计算即可．

解答 解：（1）由旋转的性质可知，∠ACA₂=90°，A₁C₁=A₂C，∠BA₁C₁=∠A，
∴∠ACB+∠BCA₂=90°，
∴∠BA₁C₁=∠BCA₂，
∴A₁C₁∥A₂C，又A₁C₁=A₂C，
∴四边形A₁CA₂C₁是平行四边形，
∴C₁B₁∥BC，
故答案为：平行；
（2）C₁B₁∥BC；
证明：过C₁作C₁E∥B₁C，交BC于E，则∠C₁EB=∠B₁CB，
由旋转的性质知，BC₁=BC=B₁C，∠C₁BC=∠B₁CB，
∴∠C₁BC=∠C₁EB，
∴C₁B=C₁E，
∴C₁E=B₁C，
∴四边形C₁ECB₁是平行四边形，
∴C₁B₁∥BC；
（3）∵C₁B₁=$\frac{2}{5}$BC，
∴$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
由（2）得，C₁B₁∥BC，
∴△C₁BB₁的面积：△B₁BC的面积=$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
∵△C₁BB₁的面积为4，
∴△B₁BC的面积为10，
故答案为：10．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握两平行线间的距离相等、旋转变换的性质是解题的关键．