题目内容
15．如图，抛物线y=ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，Fn．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．
（1）当a=-1时，
①求P1、P2及图象F1的顶点坐标；
②点H（2015，-2）是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，请求出图象对应的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设图象Fm、Fm+1的顶点分别为Tm、Tm+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试在图中先标出Q点所在的位置，再探究：当a为何值时，以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？且直接写出此时n的值．
分析 （1）①a=-1代入抛物线的解析式，然后令y=可求得对应的x的值，从而可得到p1的坐标，然后依据平移的方向和距离可得到点P2的坐标，接下来，利用配方法可求得抛物线的顶点F1的坐标②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1即可得出结论；
（2）设OQ中点为O′，则线段TnTn+1经过O′，再根据图形平移的性质即可得出结论．
解答 解：（1）①当a=-1时，y=ax2+2ax=-x2-2x．
令-x2-2x=0，解得：x=0或x=-2．
∴点P1的坐标为（-2，0）．
由平移的性质可知P2的坐标为（2，0）．
∵y=-x2-2x=（x+1）2+1，
∴图象F1的顶点坐标为：（-1，1）；
②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1，
∴点H（2015，-2），不在该“波浪抛物线”上，
∵图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，
201÷4=50…1，故其图象与F2，F4…形状相同，
则图象Fn对应的解析式为：y=（x-201）2-1，
其自变量x的取值范围为：200≤x≤202．
（2）设OQ中点为O′，则线段TnTn+1经过O′，
由题意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′Tn+1，
∴当TnTn+1=OQ=12时，四边形OTnTn+1Q为矩形，
∴O′Tn+1=6，
∵F1对应的解析式为y=a（x+1）2-a，
∴F1的顶点坐标为（-1，-a），
∴由平移的性质可知，点Tn+1的纵坐标为-a，
∴由勾股定理得（-a）2+（-1）2=62，
∴a=±$\sqrt{35}$，
∵a＜0，
∴a=-$\sqrt{35}$，故此时n的值为4．
点评 本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数平移的性质、二次函数的最值问题是解答此题的关键．
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