Question

11．如图：已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线分别相交于G₁，G₂，G₃，…，G_n-1，试猜想：∠BG_n-1C与∠A的关系．（其中n是不小于2的整数）
首先得到：当n=2时，如图1，∠BG₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
当n=3时，如图2，∠BG₂C=60°+$\frac{2}{3}$∠A，…
如图3，猜想∠BG_n-1C=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$∠A．…

Answer 1

分析 当n=2时，用∠A表示出∠G₁BC+∠G₁CB的度数，再由三角形内角和定理即可得出∠BG₁C的度数；当n=3时，用∠A表示出∠G₂BC+∠G₂CB的度数，再由三角形内角和定理即可得出∠BG₂C的度数，根据n=2与n=3的结论可得出猜想．

解答 解：∵当n=2时，∠G₁BC+∠G₁CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BG₁C=180°-（∠G₁BC+∠G₁CB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∵当n=3时，∠G₂BC+∠G₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∴∠BG₂C=180°-$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{2}{3}$（180°-∠A）=60°+$\frac{2}{3}$∠A．
由n=2，n=3可知，∠BG_n-1C=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$∠A．
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$∠A，60°+$\frac{2}{3}$∠A，$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．