Question

【题目】如图，，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．

（1）求证：；

（2）当时，求的度数；

（3）若的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）40°＜α＜90°

【解析】

（1）根据ASA证明：△APM≌△BPN；

（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；

（3）直角三角形的三边垂直平分线的交点是斜边上的中点，钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的外部，只有锐角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．

（1）证明：∵P是AB的中点，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

∵，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

（3）解：∵的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，

∴△BPN是锐角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．