题目内容
4．我们课本中有这样一段叙述“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数，负数还是零．”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了．试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次够买粮食100千克，乙每次够了用去100元．（1）假设x，y分别表示两次购粮的单价（单位：元/千克），试用含x，y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款100x+100y元，乙两次共购买$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$千克粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1=$\frac{x+y}{2}$元，Q2=$\frac{2xy}{x+y}$元．
（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判定甲，乙两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由．
分析 （1）根据两次购买粮食的单价及买的千克数，表示出甲两次买粮食的钱数即可；用100元除以两次单价，相加即可得到乙购买粮食的千克数；表示出甲两次购买粮食的平均单价为Q1元，乙两次购买粮食的平均单价为Q2元即可；
（2）由（1）得到Q1-Q2，通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用完全平方公式整理后判断差为正数，可得出Q1＞Q2，即乙购买粮食的方式更合算些．
解答 解：（1）甲每次购买粮食共需要付款（100x+100y）元；
乙两次共购买（$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$）千克的粮食；
${Q}_{1}=\frac{x+y}{2}$，${Q}_{2}=\frac{2xy}{x+y}$；
故答案为：（100x+100y）；（$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$）；$\frac{x+y}{2}$；$\frac{2xy}{x+y}$；
（2）乙购买粮食的方式更合算些，理由为：
Q1-Q2=$\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}$=$\frac{（x+y）^{2}-4xy}{2（x+y）}=\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x-y）2＞0，2（x+y）＞0，
∴$\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$＞0，
∴Q1-Q2＞0，即Q1＞Q2，
∴乙购买粮食的方式更合算些．
点评 此题考查了分式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．在通常情况下，判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．
练习册系列答案
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