Question

12．已知：如图△ABC是等边三角形，D、E分别是BC，AC上两点且BD=CE，以AD为边在AC一侧作等边△ADF．求证：EF∥BC．

Answer 1

分析 连接CF，根据等边三角形的性质求得AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，然后证得△BAD和△CAF全等，得出∠ACF=∠ABD=60°，BD=CF，进而证得△CEF是等边三角形，得出∠CEF=∠ACB=60°，即可证得结论．

解答 证明：连接CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=60°，BD=CF，
∵BD=CE，
∴CF=CE，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠CEF=∠ACB=60°，
∴EF∥BC．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定等，证得△CEF是等边三角形是解题的关键．