Question

16．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求$\frac{AF}{AG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，又易证△EAF∽△CAG，所以$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，从而可知$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$．

解答 解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，

（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{5}$
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AF}{AG}$=$\frac{3}{5}$

点评 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．