Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是线段AB上的一动点，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A₁B₁C₁，点E是线段A₁C的中点，则PE长度的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，根据CD=ACsin∠BAC求出CD的长，当P在AB上运动至垂足点D，△ABC绕点C旋转，点D的对应点D′在线段A₁C上时，EP最小．

解答 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

∵Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵Rt△ACD中，AC=2，
∴CD=ACsin∠BAC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
当点P在AB上运动到点D，△ABC绕点C旋转时，点D的对应点为D′，
当点C、E、D′共线时D′E最小，即PE最小，最小值为CD′-CE=CD-CE=$\sqrt{3}-1$，
故选：B．

点评 本题考查的是图形的旋转、锐角三角函数的定义等知识，根据题意得出点P运动至点D、△ABC绕点C旋转到点C、E、D′共线时D′E最小，即PE最小是解题的关键．