Question

5．对x，y定义一种新运算，规定：$f（x，y）=\frac{ax+by}{2x+y}$（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：$f（0，1）=\frac{a×0+b×1}{2×0+1}=b$．已知f（1，-1）=-2；f（4，2）=1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式f（2m，5-4m）≤5-2k恰好有3个负整数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得；
（2）表示出不等式的解集，得出不等式的解集，根据不等式恰好有3个负整数解即可得出关于m的不等式组，求出即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-b}{2-1}=-2}\\{\frac{4a+2b}{8+2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知：f（x，y）=$\frac{x+3y}{2x+y}$，
∴f（2m，5-4m）=$\frac{2m+3（5-4m）}{2×2m+5-4m}$≤5-2k，
3-2m≤5-2k，
∴m≥-1+k，
∵不等式f（2m，5-4m）≤5-2k恰好有3个负整数解，
∴-4＜-1+k≤-3，
∴-3＜k≤-2．

点评 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．