Question

17．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A、与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k是常数，k≠0）的图象交于点B（a，3），且这个反比例函数的图象经过点C（6，1）．
（1）求出点A的坐标；
（2）设点D为x轴上的一点，当四边形ABCD是梯形时，求出点D的坐标和四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用C点坐标计算出反比例函数中的k的值，进而可得反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式计算出B的坐标，把B点坐标代入y=x+b可得B的值，进而可得一次函数解析式，然后可得一次函数y=x+b的图象与x轴交点A的坐标；
（2）点D为x轴上的一点，因此不可能出现AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，设直线CD的解析式为y=x+m，把C点坐标代入可得m的值，然后可得D点坐标，分别过点B、C作BE⊥x轴、CF⊥x轴，垂足分别为E、F，然后利用图形中的面积关系计算出四边形ABCD的面积即可．

解答 解：（1）方法一：∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点C（6，1），
∴$1=\frac{k}{6}$，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$．
∵B（a，3）在该反比例的图象上，
∴$3=\frac{6}{a}$，
∴a=2，
即B（2，3），
∵y=x+b经过点B（2，3），
∴y=x+1，
令y=x+1=0，得x=-1，
∴A（-1，0）．
方法二：∵点C（6，1）与点B（a，3）都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴6×1=a×3=k，
∴a=2，
∴B（2，3）．
∵y=x+b经过点B（2，3），
∴y=x+1，
令y=x+1=0，得x=-1，
∴A（-1，0）．

（2）∵四边形ABCD是梯形，且点D为x轴上的一点，
∴不可能出现AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴可设直线CD的解析式为y=x+m，
∵y=x+m经过点C（6，1），
∴y=x-5，
令y=x-5=0，得x=5，
∴D（5，0），
分别过点B、C作BE⊥x轴、CF⊥x轴，垂足分别为E、F，
则S_梯形ABCD=S_△ABE+S_梯形BEFC-S_△DCF，
=$\frac{1}{2}AE•BE+\frac{1}{2}（BE+CF）•EF-\frac{1}{2}DF•CF$
=$\frac{1}{2}×3×3+\frac{1}{2}×（3+1）×4-\frac{1}{2}×1×1$=12．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．