Question

5．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的平分线，且交CD于E，CB于F，求证：AF：AE=CB：CD．

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠ACF=∠ADE，由于∠CAF=∠DAE，求得△ACF∽△ADE，证得$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AD}$，通过△ACD∽△BCD，证得$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，等量代换得到AF：AE=CB：CD．

解答 解：∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACF=∠ADE，
∵∠CAF=∠DAE，
∴△ACF∽△ADE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△BCD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，
∴AF：AE=CB：CD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．