Question

15．一边长为4cm的矩形，两条对角线的夹角为120°，求矩形对角线的长．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OB，由已知条件证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB，∠OAB=60°；分两种情况：
①当AB=4cm时，AC=BD=2OA=8cm；
②当BC=4cm时，求出∠ACB=30°，由三角函数求出AB，得出OA，即可得出AC的长．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=60°；
分两种情况：
①当AB=4cm时，AC=BD=2OA=8cm；
②当BC=4cm时，
∵∠ACB对=90°-60°=30°，
∴AB=BC•tan∠ACB=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=2OA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
综上所述：矩形对角线的长为8cm，或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$cm．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．