题目内容
如图，四边形AOBC是菱形，点B的坐标为（4，0），∠AOB=60°．点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AC向点C移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a＜3）个单位长度的速度沿射线OB向右移动．设t（0＜t≤4）秒后，PQ交OC于点R．（1）当a=2，OR=8（
时，求t的值及经过P、Q两点的直线的解析式；（2）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形能够相似？当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似？请给出结论，并加以证明．
【答案】分析：（1）作CD⊥x轴于D，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
（2）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC，当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似．
解答：解：（1）作CD⊥x轴于D，
∵点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=2
，OC=2CD=4
，
当时间是t秒时，PC=4-t，OQ=2t，
RC=OC-OR=4
-8（2
-3）=12（2-
），
∵PC∥OQ，
∴△PCR∽△QOR，
∴
，
∴
，
∴解得：t=2（
-1），
∴P点的坐标是（2
，2
），Q（4（
-1），0），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
把P、Q两点的坐标代入得：
解得：
，
故经过P、Q两点的直线的解析式是y=（3+2
）x-4（3+
）；
（2）Ⅰ、当a=1时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形能够相似，
理由如下：
∵AP=OQ，AP∥OQ，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴PQ∥OA∥BC，
∴当0＜t≤4时，无论t取何值，总有△OQR∽△OBC，
Ⅱ、当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似，
理由如下：当1＜a＜3时，显然PQ和BC不能平行，
如果以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形相似那么∠ORQ=∠OBC，
又∵△BOC是等腰三角形，
∴△ROQ是等腰三角形，且OR=QR，
∴OR=
=
，
同理，在等腰三角形RPC中，RC=
，
∵OR+RC=OC，
∴
+
=4-
，
解得：t=
，
∵1＜a＜3，
∴0＜a-1＜2，
∴t=
＞4，
由于已知t≤4，
∴当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似．
点评：本题考查了菱形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数值以及等腰三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度很大．
（2）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC，当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似．
解答：解：（1）作CD⊥x轴于D，
∵点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=2
，OC=2CD=4，当时间是t秒时，PC=4-t，OQ=2t，
RC=OC-OR=4
-8（2-3）=12（2-），∵PC∥OQ，
∴△PCR∽△QOR，
∴
，∴
，∴解得：t=2（
-1），∴P点的坐标是（2
，2），Q（4（-1），0），设直线PQ的解析式为y=kx+b，
把P、Q两点的坐标代入得：
解得：
，故经过P、Q两点的直线的解析式是y=（3+2
）x-4（3+）；（2）Ⅰ、当a=1时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形能够相似，
理由如下：
∵AP=OQ，AP∥OQ，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴PQ∥OA∥BC，
∴当0＜t≤4时，无论t取何值，总有△OQR∽△OBC，
Ⅱ、当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似，
理由如下：当1＜a＜3时，显然PQ和BC不能平行，
如果以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形相似那么∠ORQ=∠OBC，
又∵△BOC是等腰三角形，
∴△ROQ是等腰三角形，且OR=QR，
∴OR=
=，同理，在等腰三角形RPC中，RC=
，∵OR+RC=OC，
∴
+=4-，解得：t=
，∵1＜a＜3，
∴0＜a-1＜2，
∴t=
＞4，由于已知t≤4，
∴当1＜a＜3时，以O、Q、R为顶点的三角形和以O、B、C为顶点的三角形不能够相似．
点评：本题考查了菱形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数值以及等腰三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度很大．
练习册系列答案
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