Question

18．在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．
（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．
（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠CBM，由SAS证明△ABM≌△CBM即可．
②由全等三角形的性质得出∠BAM=∠BCM，由直角三角形斜边上的中线性质得出GC=GF，证出∠GCF=∠F，由平行线的性质得出∠BAM=∠F，因此∠BCM=∠GCF，得出∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，即可得出结论；
（2）同（1），即可得出结论；
（3）①当点E在BC边上时，由∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，得出∠EMC=∠ECM，由三角形的外角性质得出∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，由直角三角形的性质得出∠BAE=30°，得出BE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE=$\sqrt{3}$；即可得出结论．

解答 （1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABM=∠CBM}&{\;}\\{BM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBM（SAS）．
②∵△ABM≌△CBM
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=$\frac{1}{2}$EF=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM；
（2）解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABM=∠CBM}&{\;}\\{BM=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBM（SAS）
∴∠BAM=∠BCM，
又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠GFC，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°，
∴GC⊥CM；
（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE=$\sqrt{3}$．
综上①②，当BE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$戓BE=$\sqrt{3}$时，△MCE是等腰三角形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．