Question

12．如图，抛物线l：y=$\frac{1}{2}$（x-h）²-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数?的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数?的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数?的图象于另外两点P，Q，且S_△ABQ=2S_△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数?的值y随x的增大而增大（即呈上升趋势）的x的取值；
②如图2，作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE，根据S_△ABQ=2S_△ABP，得QE=2PD，证明△PAD∽△QAE，则$\frac{AE}{AD}=\frac{QE}{PD}$，得AE=2AD，设AD=a，根据QE=2FD列方程可求得a的值，并计算P的坐标；
（2）先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h的取值．

解答 解：（1）①把A（1，0）代入抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-h）²-2中得：
$\frac{1}{2}$（x-h）²-2=0，
解得：h=3或h=-1，
∵点A在点B的左侧，
∴h＞0，
∴h=3，
∴抛物线l的表达式为：y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-2，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3，
由对称性得：B（5，0），
由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数?的值y随x的增大而增大；
②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，
由对称性得：DF=PD，
∵S_△ABQ=2S_△ABP，
∴$\frac{1}{2}$AB•QE=2×$\frac{1}{2}$AB•PD，
∴QE=2PD，
∵PD∥QE，
∴△PAD∽△QAE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{QE}{PD}$，
∴AE=2AD，
设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，-[$\frac{1}{2}$（1+a-3）²-2]），
∵点F、Q在抛物线l上，
∴PD=DF=-[$\frac{1}{2}$（1+a-3）²-2]，
QE=$\frac{1}{2}$（1+2a-3）²-2，
∴$\frac{1}{2}$（1+2a-3）²-2=-2[$\frac{1}{2}$（1+a-3）²-2]，
解得：a=$\frac{8}{3}$或a=0（舍），
∴P（$\frac{11}{3}$，$\frac{16}{9}$）；
（2）当y=0时，$\frac{1}{2}$（x-h）²-2=0，
解得：x=h+2或h-2，
∵点A在点B的左侧，且h＞0，
∴A（h-2，0），B（h+2，0），
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，
分两种情况：
①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则$\left\{\begin{array}{l}{h-2≤2}\\{h≥3}\end{array}\right.$，
∴3≤h≤4，
②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了数形结合的思想解决问题．