Question

13．黑板上有1，2，3，…，2016个自然数，对他们进行操作，规则如下：每次擦掉三个数，再添上所擦掉三数之和的个位数字，若经过1007次操作后，发现黑板上剩下两个数．
①一个自然数是17，则另一个自然数是9；
②一个自然数是7，则另一个自然数有201种不同情况．

Answer 1

分析 因为新添的数字就是所擦掉三数之和的个位数字，所以这2016个自然数的个位数字的和不变，经计算为6．
①因为其他数都擦掉了，就剩17和另一个数了，所以另一个数是擦掉的三数之和的个位数，必小于10，且与17之和的个位数为6，故为9；
②因为经过1007次操作后，黑板上剩下两个数，如果7是擦掉的三数之和的个位数，那么另一个数是1，2，3，…，2016个自然数中与7之和的个位数为6的某一个数，这个数的个位数是9，即另一个自然数可能是9，19，29，…，2009．

解答 解：∵1+2+3+…+2016=（1+2016）×2016÷2，
∴这2016个自然数的个位数字的和为6．
①∵其他数都擦掉了，就剩17和另一个数了，
∴另一个数是擦掉的三数之和的个位数，必小于10，且与17之和的个位数为6，
∴另一个自然数是9．
故答案为9；
②∵一个自然数是7，
∴另一个自然数与7之和的个位数为6．
∵7是一位数，
∴另一个数是1，2，3，…，2016个自然数中个位数是9的数，
即另一个自然数可能是9，19，29，…，2009，共201个．
故答案为201．

点评 本题是数字类的变化题，此类题变化多样，要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法；但本题要注意理解“写上所擦掉三个数之和的个位数字“，因此要计算2016个自然数的和，确定其个位数字，就是这2016个自然数的个位数字的和，根据这个结论计算出另一个数．