Question

18．设a为整数，若函数y=x²+（a-1）x+（2a²-2a-100），且存在实数x使得y≤0，则a的最大值为12．

Answer 1

分析 由条件可知抛物线与x轴有两个交点，则可得到关于a的不等式，求其解集即可．

解答 解：
∵y=x²+（a-1）x+（2a²-2a-100），
∴抛物线开口向上，且存在实数x使得y≤0，
∴抛物线与x轴有两个交点，即方程x²+（a-1）x+（2a²-2a-100）=0，
∴△≥0，即（a-1）²-4（2a²-2a-100）≥0，
整理可得7a²-6a-401≤0，解得$\frac{3-60\sqrt{2}}{7}$≤a≤$\frac{3+60\sqrt{2}}{7}$≈12.5，
∵a为整数，
∴a的最大值为12，
故答案为：12．

点评 本题主要考查二次函数的最值，由条件得到关于a 不等式是解题的关键．