Question

11．如图，矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，在线段AC上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，动点E从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）若△CDE与△ADC相似，求t的值．
（2）连接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值；
（3）当PQ长度取得最小值时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得CD²=DE•DA，即36=4t×8，解方程即可．
（2）如图1中，作PM⊥BC于M．由△PMB∽△QBA，得$\frac{PM}{QB}$=$\frac{BM}{AB}$，由CP=5t，CM=4t，PM=3t，可得方程$\frac{3t}{4t}$=$\frac{8-4t}{6}$，解方程即可．
（3）根据PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}-（8-8t）^{2}}$=$\sqrt{73{t}^{2}-128t+64}$，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵0＜t＜2，
∴点E与点A不重合，
∵△CDE与△ADC相似，
∴∠DCE=∠DAC，
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{DE}{CD}$，
CD²=DE•DA，即36=4t×8，
解得t=$\frac{9}{8}$s．

（2）如图1，

∵DE=BQ=4t，AD=BC，AD∥BC
∴AE=CQ，AE∥CQ，
∴四边形AECQ为平行四边形，
∴CE∥AQ，过点P做PM⊥CB于点M，
∵BP⊥CE，CE∥AQ，
∴BP⊥AQ，
∴∠ABP+∠PBM=90°，∠BAQ+∠PBA=90°，
∴∠BAQ=∠PBM，∵∠ABQ=∠PMB=90°．
∴△PMB∽△QBA，
∴$\frac{PM}{QB}$=$\frac{BM}{AB}$，
∵CP=5t，CM=4t，PM=3t，
∴$\frac{3t}{4t}$=$\frac{8-4t}{6}$，
所以t=$\frac{7}{8}$s．

（3）如图2，

在Rt△PMQ中，PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}-（8-8t）^{2}}$=$\sqrt{73{t}^{2}-128t+64}$，
所以当t=-$\frac{-128}{2×73}$=$\frac{64}{73}$s时，PQ可以取得最小值．

点评 本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．