Question

8．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．可证：AE⊥BF；
（1）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM，如图2，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF，如图3，延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

Answer 1

分析 （1）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S_△AGN=$\frac{4}{5}$，再利用S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解；
（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB求解．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的面积为4，其边长为2，由题意得：
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴△AGN∽△AHM，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}=（\frac{AN}{AM}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}=（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}$，
∴S△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴S四边形GHMN=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴四边形GHMN的面积是$\frac{1}{5}$．
（2）根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=$\frac{5k}{2}$，
∴sin=∠BQP=$\frac{BP}{QB}=\frac{2k}{\frac{5k}{2}}=\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．