Question

13．已知抛物线y=x²+ax+a-2．
（1）如果抛物线经过点（4，5），求这条抛物线的解析式；
（2）求证：不论a取何值，抛物线总与x轴有两个不同的交点．

Answer 1

分析 （1）把点（4，5）代入y=x²+ax+a-2，利用待定系数法即可求得；
（2）令y=0，根据方程根的判别式△与0的关系来证明．

解答 解：（1）∵抛物线经过点（4，5），
∴5=16+4a+a-2，
解得a=-$\frac{9}{5}$，
∴这条抛物线的解析式为y=x²-$\frac{9}{5}$x-$\frac{19}{5}$．
（2）证明：∵y=x²+ax+a-2，
∵△=a²-4（a-2）=a²-4a+8=a²-4a+4+4=（a-2）²+4，
又∵（a-2）²+4＞0，
∴△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点．

点评 此题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题主要考查方程的根与函数系数的关系．