Question

7．如图，在边长为1的正方形中，被4段$\frac{1}{4}$圆弧所围的阴影部分面积为1-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先求出弓形AB的面积过A点作边长为1的正方形的一边的垂线，垂足为Q，作AH⊥OB于H，由OQ=$\frac{1}{2}$，OA=1得出∠OAQ=30°，根据直线平行内错角相等得到∠1=30°，同理可得∠2=30°，得到∠AOB=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{4}$，求出S_{正方形ABCD}=2-$\sqrt{3}$，最后利用图中阴影部分的面积=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}进行计算即可．

解答 解：图中阴影部分可分为四个相同的弓形和正方形ABCD，如图，
过A点作边长为1的正方形的一边的垂线，垂足为Q，作AH⊥OB于H，
∵OQ=$\frac{1}{2}$，OA=1，
∴∠OAQ=30°，
∴∠1=30°，
同理可得∠2=30°，
∴∠AOB=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×AH×OB=$\frac{1}{4}$，S_扇形OAB=$\frac{30•π•{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{12}$，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{4}$，
在Rt△ABH中，BH=OB-OH=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\frac{1}{2}$，
∴AB²=BH²+AH²=2-$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形ABCD}=2-$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}=4×（$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{4}$）+2-$\sqrt{3}$=1-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$．
故答案为：1-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了面积及等积变换：把不规则的几何图形的面积计算问题转化为规则几何图形的面积的和或差；掌握扇形的面积公式以及含30°的直角三角形三边的关系．