Question

【题目】如图，甲、乙两人分别从A（1， ），B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2 ， 直接写出s与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A点的坐标为（1， ），

∴OA= =2；

∵OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，

∴当 = 时，解得t=0，

∴甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，

∴MN与AB不可能平行．

（2）

解：∵甲到达O点的时间为t= ，乙到达O点的时间为t= = ，

∴甲先到达O点，

∴t= 或t= 时，O、M、N三点不能连接成三角形．

①t＜ 时，

如果△OMN∽△OBA，则有 = ，

解得t=2＞ ，

∴△OMN不可能和△OBA相似．

②当 ＜t＜ 时，

∠MON＞∠AOB，

显然△OMN不可能和△OBA相似．

③当t＞ 时，

= ，

解得t=2＞ ，

∴当t=2时，△OMN∽△OBA．

（3）

解：①当t≤ 时，如图1，过点M作MH⊥x轴于点H，

，

在Rt△MOH中，

∵∠AOB=60°，

∴MH=OMsin60°=（2﹣4t）× = （1﹣2t），

∴OH=OMcos60°=（2﹣4t）× =1﹣2t，

∴NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，

∴s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2

=3（4t2﹣4t+1）+（4t2﹣20t+25）

=16t2﹣32t+28．

②当 ＜t≤ 时，如图2，作MH⊥x轴于点H，

，

在Rt△MOH中，

MH= （4t﹣2）= （2t﹣1），

NH= （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，

∴s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

③当t＞ 时，同理可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

综上，可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

【解析】（1）判断出甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，即可推得MN与AB不可能平行．（2）根据题意，分三种情况：①t＜ 时；②当 ＜t＜ 时；③当t＞ 时；求出当t为何值时，△OMN∽△OBA．（3）根据题意，分三种情况：①t≤ 时；②当 ＜t≤ 时；③当t＞ 时；写出s与t之间的函数关系式即可．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．