Question

【题目】如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF． ①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE=3 ，求EF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，△ABM为所作；

（2）①证明：∵ABCD 是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，

∴AM=AE，∠MAE=90°，

又∵∠EAF=45°，

∴∠MAF=45°，

∴∠MAF=∠EAF，

在△AMF和△AEF中

，

∴△AMF≌△AEF；

②解：∵△AMF≌△AEF，

∴EF=MF，

即ME=BF+MB，

而BM=DE，

∴EF=BF+DE，

在Rt△ADE中，DE= =3，

∴CE=6﹣3=3，

设EF=x，则BF=x﹣3，

∴CF=6﹣（x﹣3）=9﹣x，

在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，

∴（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，

解EF=5．

故答案为5．

【解析】（1）在CB的延长线上截取BM=DE，则△ABM满足条件；（2））①由旋转性质得AM=AE，∠MAE=90°，则∠MAF=∠EAF=45°，则可根据“SAS”判断△AMF≌△AEF；②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理计算出DE=3，则CE=3，设EF=x，则BF=x﹣3，CF=9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32=x2 ， 然后解方程求出x即可．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．