Question

8．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，过点A的切线交CD的延长线于点P．
（1）求证：AP=AC；
（2）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连结OA、AD，如图，根据圆周角定理得到∠DAC=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再根据切线的性质得∠OAP=90°，接着计算出∠P=30°，即∠P=∠ACP，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=2OA，即OD+PD=2OA，于是可计算出OA，从而得到⊙O的直径．

解答 （1）证明：连结OA、AD，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠P=90°-60°=30°，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC；
（2）解：在Rt△AOP中，∵∠P=30°，
∴OP=2OA，
即OD+PD=2OA，
∴OA+$\sqrt{3}$=2OA，解得OA=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直径为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．