Question

7．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，延长AD至C，使AD=DC，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若DE=2，sinC=$\frac{2}{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥DE即可．
（2）在Rt△DEC中，利用正弦函数求得AD=DC=3，然后证得∠A=∠C，从而得出sinA=$\frac{2}{3}$，设BD=2k，AB=3k，根据勾股定理得出（3k）²-（2k）²=3²，从而得出k=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$，进而即可求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD=DC，OA=OB
∴OD是△ABC的中位线（1分）
∴OD∥BC
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴直线DE是⊙O的切线（3分）
（2）解：在Rt△DEC中，DC=$\frac{DE}{sinC}$=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴AD=DC=3，
∵AB是直径，
∴BD⊥AC，
∴BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴在Rt△ADB中，sinA=$\frac{2}{3}$，设BD=2k，AB=3k，
∵AB²-BD²=AD²，即（3k）²-（2k）²=3²，
则5k²=9，k=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{9}{10}$$\sqrt{5}$．
∴⊙O的半径为$\frac{9}{10}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的判定和勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．