Question

如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，反比例函数y=

m

x

的图象经过点A，一次函数y=kx-2的图象经过A、C两点，且与y轴交于点E．设点P在y轴正半轴上，AP=AE，AP交双曲线于M，求点M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：根据一次函数y=kx-2的解析式可直接算出E点坐标，根据平行线分线段成比例定理可得

AB

OE

=

BC

OC

，再代入相应线段长可算出CO的长，进而得到点C的坐标，把点C的坐标代入y=kx-2中即可得到一次函数的解析式；然后再算出A点的坐标，把A点的坐标（6，1）代入y=

m

x

得反比例函数的解析式，根据等腰三角形的对称性求得P的坐标，然后根据待定系数法求得直线PA，联立方程解方程即可求得M的坐标．

解答：解：∵一次函数的解析式为y=kx-2，
∴当x=0时，y=k×0-2=-2，
∴点E的坐标为（0，-2）；
∵AB∥EO，
∴

AB

OE

=

BC

OC

，
即

1

2

=

2

OC

，
∴OC=4，
∴点C的坐标为（4，0），
把点C的坐标（4，0）代入y=kx-2，得k=

1

2

，
∴一次函数的解析式为y=

1

2

x-2，
∵BC=2，
∴A点的坐标为（6，1），
∵反比例函数y=

m

x

的图象经过点A，
∴m=6，
∴反比例函数y=

6

x

，
∵AP=AE，
∴AP、AE关于直线AD对称，
∵AB=1，
∴直线AD为y=1，
∴P（0，4）
设直线AP的解析式为y=ax+4，
∵A点的坐标为（6，1），
∴6a+4=1，解得a=-

1

2

，
∴直线AP的解析式为y=-

1

2

x+4，
解

y=- 1 2 x+4 y= 6 x

得

x=2 y=3

或

x=6 y=1

，
∴M点的坐标为（2，3）．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是算出OC的长．