Question

如图，DB为半圆的直径，且 BD=2，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．
（1）连接BE，求证：BE平分∠DBC；
（2）当AD为何值时，四边形BOEF为菱形？

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）证明：连结OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AC，而BC⊥AC，则OE∥BC，根据平行线的性质得∠2=∠3，加上∠1=∠3，所以∠1=∠2；
（2）连结OF，由于OE∥BF，则当EF∥OB时，四边形BOEF为平行四边形，加上OB=OE，则此时四边形BOEF为菱形，所以EF=BF=OB=OE=2，可判定△OEF和△OBF都是等边三角形，得到∠BOF=∠EOF=60°，于是计算出∠AOE=60°，在Rt△AOE中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出OA=2OE=4，易得AD=OA-OD=2．

解答：（1）证明：连结OE，如图，
∵AC切半圆于点E，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠2=∠3，
而OE=OB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴BE平分∠DBC；
（2）解：连结OF，
∵OE∥BF，
∴当EF∥OB时，四边形BOEF为平行四边形，
而OB=OE，则此时四边形BOEF为菱形，
∴EF=BF=OB=OE=2，
∴△OEF和△OBF都是等边三角形，
∴∠BOF=∠EOF=60°，
∴∠AOE=60°，
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OA=2OE=4，
∴AD=OA-OD=4-2=2，
即当AD为2时，四边形BOEF为菱形．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了菱形的判定．