题目内容
16．如图所示，AB∥CD，直线EF与AB相交于点E，与CD相交于点F，FH是∠EFD的角平分线，且与AB相交于点H，GF⊥FH交AB于点G（GF＞HP）．（1）如图①，求证：点E是GH的中点；
（2）如图②，过点E作EP⊥AB交GF于点P，请判断GP2=PF2+HF2是否成立？并说明理由；
（3）如图③，在（1）的条件下，过点E作EP⊥EF交GF于点P，请猜想线段GP、PF、HF有怎样的数量关系，请直接写出你猜想的结果．
分析 （1）根据平行线的性质和角平分线的定义求得∠EHF=∠EFH，证得EF=EH，根据∠EFG+∠EFH=90°，∠EGF+∠EHF=90°，得出∠EFG=∠EGF，根据等角对等边求得EG=EF，即可证得EH=EG，即E为HG的中点；
（2）连接PH，根据垂直平分线的性质得出PG=PH，在Rt△PFH中，根据勾股定理得：PH2=PF2+HF2，即可得到GP2=PF2+HF2；
（3）延长PE，使PE=EM，连接MH，MF，易证得△GPE≌△HME，从而得出GP=MH，∠1=∠2，进而证得EF垂直平分PM，根据垂直平分线的性质得出PF=MF，在RT△MHF中，MF2=MH2+FH2，即可得到PF2=GP2+FH2．
解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EHF=∠HFD，
∵FH平分∠EFD，
∴∠EFH=∠HFD，
∴∠EHF=∠EFH，
∴EF=EH，
∵∠GFH=90°，
∴∠EFG+∠EFH=90°，∠EGF+∠EHF=90°，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF，
∴EH=EG，
∴E为HG的中点；
（2）连接PH，如图②
：
∵EP⊥AB，
又∵E是GH中点，
∴PE垂直平分GH，
∴PG=PH，
在Rt△PFH中，∠PFH=90°，
由勾股定理得：PH2=PF2+HF2，
∴GP2=PF2+HF2； 
（3）如图③，延长PE，使PE=EM，连接MH，MF，
在△GPE和△HME中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=EH}\\{∠GEP=∠HEM}\\{PE=EM}\end{array}\right.$，
∴△GPE≌△HME（SAS），
∴GP=MH，∠1=∠2，
∵GF⊥FH，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵EF⊥PM，PE=EM，
∴PF=MF，
在RT△MHF中，MF2=MH2+FH2，
∴PF2=GP2+FH2．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，找出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | 0 | B． | 3 | C． | -3 | D． | 不存在 |
如图，一个正方形a分裂成两个正方形b，一个正方形b又分裂成两个正方形c，一个正方形c有分裂成两个正方形d，…，依此类推，则正方形f的个数是25（结果用幂的形式表示）．
| A． | 盈利$\frac{25}{9}$元 | B． | 亏本10元 | C． | 盈利15元 | D． | 不赢不亏 |
某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价0.7万元，首次付款后每个月应还的钱数y（元）与还钱月数t的关系如图所示：