Question

11．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠D=30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为3；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据：时间=$\frac{角度}{速度}$进行计算．通过计算，证明OE平分∠AOC．
（2）由于OC的旋转速度快，需要考虑三种情形．
（3）通过计算分析，OC，OD的位置，然后列方程解决．

解答 解：（1）①∵∠AOC=30°，∠AOB=180°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}∠$BOC=75°，
∴t=$\frac{90°-75°}{5}$=3．
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOC-∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOE，
即OE平分∠AOC．                     
（2）三角板旋转一周所需的时间为=$\frac{360}{4}$=90（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为$\frac{360}{8}$=45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x-5x=45-30，
解得：x=5，
②8x-5x=360-30+45，
解得：x=125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为$\frac{360}{8}$=45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴t=$\frac{345}{5}$=69（秒），
综上所述，t=5秒或69秒时，OC平分∠DOE．

（3）由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5=18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180-30）÷8=18$\frac{3}{4}$（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x-（180-30）=$\frac{1}{2}$（5x-90），
解得：x=$\frac{210}{11}$，
所以经$\frac{210}{11}$秒时，OC平分∠DOB．

点评 本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．