题目内容
1．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；
（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FEM=$\frac{α}{2}$，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．
解答 解：（1）AD+DE=4，
理由是：如图1，
∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4；
（2）①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠ADE=∠BDC\\ DE=DC\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF=$\frac{EF}{{cos{{45}°}}}$=4$\sqrt{2}$；
②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FEM=$\frac{α}{2}$，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin$\frac{α}{2}$=8sin$\frac{α}{2}$．
点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
如图．已知：AB=CD，AD=BC
如图，已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．
如图，△ABC中，DE垂直平分BC，若△ABD的周长为10，AB=4，则AC=6．
如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2$\sqrt{2}$-2．