Question

10．如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于A（m，n），B（p，q）两点，与两坐标轴交于C，D两点，连接OA，OB．
（1）若A，B两点的坐标为A（-3，$\frac{1}{3}$），B（-$\frac{2}{5}$，$\frac{5}{2}$），利用图象求：当y₁＜y₂时，x的取值范围；
（2）当p=-n时，求证：∠AOC=∠BOD．

Answer 1

分析 （1）直接根据两函数图象的交点即可得出结论；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥y轴于点F，由SAS定理得出△OAE≌△OBF，根据全等三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）解：由函数图象可知，当y₁＜y₂时，x＜-3或-$\frac{2}{5}$＜x＜0；

（2）证明：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥y轴于点F，
∵mn=pq=k，p=-n，
∴m=-q，即AE=BF，OE=OF，
在△OAE与△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}AE=BF\\∠AEO=∠BFO\\ OE=OF\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴∠AOC=∠BOD．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．