题目内容
9．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x轴于点A，交y轴于点B，且∠ABO=30°，动点P从A点开始沿AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，$\sqrt{3}$，2（长度单位/秒），直线l从与x轴重合的位置开始以$\frac{\sqrt{3}}{3}$（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点，设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：
（1）填空：
①点A的坐标（3，0），点B的坐标（0，3$\sqrt{3}$）；
②当t=4时，点P的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
（2）当t为何值时，点P与点E重合？
（3）当t为何值时，△PEF是以EF为底边的等腰三角形？
分析 （1）①用坐标轴上点的特点求解即可；
②先判断出t=4时，点P的位置，此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（2）先判断出点P和点E重合时，点P走过的路径长与点E走过的路径相差OA=3，再建立方程求解即可；
（3）分三种情况进行讨论计算，用平面坐标系中两点间的距离公式和PE=PF建立方程求解即可．
解答 解：（1）①∵直线y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，则y=3$\sqrt{3}$，
令y=0，则x=3；
∴A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
故答案为（3，0）；（0，3$\sqrt{3}$）；
②∵点A的坐标是（3，0），
∴OA=3；
又∵点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为1，$\sqrt{3}$，
∴当t=4时，点P在线段OB上，且OP=（4-3÷1）×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标是（0，$\sqrt{3}$）；
故答案为（0，$\sqrt{3}$）
（2）当点P与点E重合时，$\frac{OE}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{OE}{\sqrt{3}}+\frac{OA}{1}=\frac{OE}{\sqrt{3}}+3$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴t=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{9}{2}$，
（3）∵A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∴OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得，AB=6，
直线l从x轴运动到过点B时所用时间为3$\sqrt{3}$÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=9s
∵点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，$\sqrt{3}$，2，
∴点P运动一周所用时间为3÷1+3$\sqrt{3}$÷$\sqrt{3}$+6÷2=9s，
∴点P和直线l同时运动同时停止，
∵△PEF是以EF为底边的等腰三角形，
∴PE=PF，
①当点P在线段OA上时，即0≤t≤3）
则P（3-t，0），点E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴x=3-$\frac{1}{3}$t，
∴F（3-$\frac{1}{3}$t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），
∵PE=PF，
∴PE2=PF2，
∴（3-t）2+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）2=[3-$\frac{1}{3}$t-（3-t）]2+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t）2，
∴t=9（舍）或t=$\frac{9}{5}$，
②当点P在线段OB上时，即3＜t≤6时，
∵∠OEF=90°，
∴此时不可能构成以EF为底的等腰三角形，
③当点P在线段AB上时，即：6＜t＜9，
设点P还有a秒到达点A，则点P运动了9-a=t，（0＜a＜3）
∴直线l运动了9-a秒，BP=6-2a
∴E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a）），
∵直线AB解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，且EF∥x轴，
∴F（$\frac{1}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a））
由运动有，BP=6-2a
∴PG=3-a，BG=$\sqrt{3}$（3-a），
∴P（3-a，$\sqrt{3}$（3-a））；
∵PE=PF，
∴PE2=PF2，
∴（3-a）2+[$\sqrt{3}$（3-a）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a）]2=（3-a-$\frac{1}{3}$a）2+[$\sqrt{3}$（3-a）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-a）]2，
∴a=0（舍）或a=$\frac{18}{7}$，
∴t=9-a=9-$\frac{18}{7}$=$\frac{45}{7}$．
即：t=$\frac{9}{5}$或t=$\frac{45}{7}$秒时，△PEF是以EF为底边的等腰三角形．
点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，分类思想解决问题是解本题的关键也是难点．
| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |
| 日期 | 10月1日 | 10月2日 | 10月3日 | 10月4日 | 10月5日 | 10月6日 | 10月7日 |
| 人数变化 （人） | +31 | +178 | -58 | -8 | -1 | -16 | -115 |
（2）假期里，游客人数最多的是10月2日，达到1209人．游客人数最少的是10月7日，达到1011人．
（3）请问珠江源头风景区在这八天内一共接待了多少游客？
| A． | 值周老师调查各班的出缺勤学生情况 | |
| B． | 调查某种家具的顾客满意情况 | |
| C． | 调查某种钢笔的使用情况 | |
| D． | 了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况 |
已知，如图，∠ADE=46°，DF平分∠ADE，∠1=23°，求证：DF∥BE．
中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图． | 分组 | 频数 | 百分比 |
| 600≤x＜800 | 2 | 5% |
| 800≤x＜1000 | 6 | 15% |
| 1000≤x＜1200 | 45% | |
| 9 | 22.5% | |
| 1600≤x＜1800 | 2 | |
| 合计 | 40 | 100% |
（1）补全频数分布表．
（2）补全频数直方图．
（3）估计该居民小区家庭属于中等收入（大于等于1000不足1600元）的大约有多少户？
如图，在△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分线，∠B=65°，∠C=54°