Question

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，

则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；

②如图3，当∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是____________________．【参考：】

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①DE2=BD2+BD•EC+EC2；②.

【解析】

试题分析：（1）如图1，把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'，连接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出结论MN2=DN2+BM2.

（2）①如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=CF，GF=CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论.

②如图3，把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延长线于点G，由三角函数值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论.

试题解析：（1）如图1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠ABM=∠ADN=45°．

把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM'．连结NM'．

∴△ABM≌△ADM′.∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．

∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，即∠NDM′=90°．

∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°.∴∠DAM′+∠DAF=45°，即∠M′AN=45°.∴∠M'AN=∠MAN．

在△AMN和△AM′N中，AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，AN＝AN，

∴△AMN≌△AM′N（SAS）.∴M'N=MN．

∵∠NDM′=90°，∴M'N2=DN2+DM'2，

∴MN2=DN2+BM2.

（2）①BD、DE、EC关系式为：DE2=BD2+BD•EC+EC2．理由如下：

如图2，把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接EF，作FG⊥EC的延长线于点G．

∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．

∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形.∴∠B=∠ACB=60°．∴∠ACF=60°.

∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，即∠ECF=120°.∴∠FCG=60°.∴∠CFG=30°.

∴CG=CF.

在Rt△CFG中，由勾股定理，得FG=CF．

∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°.∴∠CAF+∠EAC=30°，即∠EAF=30°．∴∠DAE=∠FAE．

在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，

∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．

在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF2=EG2+FG2，

∴.

②BD、DE、EC等量关系是：．理由如下：

把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF，连接EF．作FG⊥EC的延长线于点G．

∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°.

∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．

∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，∴∠BAC=∠FCG=α.

∴∠ACF=60°.

∴CG=cosα•CF，FG=sinα•CF．

∵∠DAE=α，∴∠BAD+∠CAE=α．

∴∠CAF+∠CAE=α，即∠EAF=α.

∴∠DAE=∠FAE．

在△ADE和△AFE中，AD＝AE，∠DAE＝∠FAE，∠AE＝AE，

∴△ADE≌△AFE（SAS）.∴DE=EF．

在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF2=EG2+FG2，

∴

∵，

∴．

考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质；3.等腰三角形的性质；4.旋转的性质；5.全等三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角函数值的运用.