Question

如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．

（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．

（2）若EF=2，，求DC的长．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2+.

【解析】

试题分析：（1）首先证明△DAF≌△ECF，则AD=CE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得.

（2）作FH⊥DC于点H，在Rt△DFH中利用三角函数求得FH的长，在Rt△CFH中利用勾股定理即可求解．

试题解析：（1）∵CE//AB，∴∠DAF=∠ECF．

∵F为AC的中点，∴AF=CF．

∵在△DAF和△ECF中 ，

∴△DAF≌△ECF（SAS）．∴AD=CE．

∵CE//AB，∴ 四边形ADCE为平行四边形．

（2）如图，过点F作FH⊥DC于点H．

∵ 四边形ADCE为平行四边形．

∴ AE//DC，DF= EF=2， ∴∠FDC =∠AED=45°．

在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，

∴ sin∠FDC=，得FH=2，

tan∠FDC=，得DH=2．

在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4．

由勾股定理，得HC=．

∴ DC=DH+HC=2+．

考点：1.平行四边形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.解直角三角形．