Question

1．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值；
（3）若ED=4，EA=2求直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值；
（3）根据切割线定理得出EB，即可求得AB的长．

解答 （1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠COD=∠COB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COB（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{2}{3}$．

（3）∵CD是⊙O的切线，
∴ED²=EA•EB，
∵ED=4，EA=2，
∴4²=2EB，
∴EB=8，
∴AB=EB-EA=8-2=6．

点评 此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．