Question

3．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论正确的有（　　）个．
①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时，△PBQ为直角三角形．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由三角形ABC为等边三角形，得到三边相等，且内角为60°，根据题意得到AP=BQ，利用SAS得到三角形ABQ与三角形CAP全等；由全等三角形对应角相等得到∠AQB=∠CPA，利用三角形内角和定理即可确定出∠CMQ的度数不变，始终等于60°；分∠QPB与∠PQB为直角两种情况求出t的值，即可作出判断．

解答 解：BP不一定等于CM，选项①错误；
根据题意得：AP=BQ=t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=AC，
在△ABQ和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=AP}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），选项②正确；
∴∠AQB=∠CPA，
在△APM中，∠PMA=180°-∠APM-∠PAM，
∵∠CMQ=∠PMA=180°-∠APM-∠PAM，
在△ABQ中，∠ABQ=60°，
∴∠AQB+∠BAQ=120°，
∴∠PAM+∠APM=120°，
∴∠CMQ=∠PMA=60°，选项③正确；
若∠PQB=90°，由∠PBQ=60°，得到PB=2BQ，即4-t=2t，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
若∠QPB=90°，由∠PBQ=60°，得到BQ=2PB，即t=2（4-t），
解得：t=$\frac{8}{3}$，
综上，当第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时，△PBQ为直角三角形，选项④正确，
故选C

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．