题目内容
12．（1）尺规作图：如图a，已知∠MON，作∠MON的平分线OP，并在OP上任取一点Q，分别在OM、ON上各取一点S、T，作△OSQ和△OTQ，使得△OSQ≌△OTQ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图b，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
②如图c，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而①中的其它条件不变，请问，你在①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
分析 （1）首先作∠MON的平分线OP，再以O为圆心，任意长为半径画弧，交OM、ON与S、T，利用SAS可判定△OSQ≌△OTQ；
（2）①过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG=FH=FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，根据对顶角相等求出∠EFD=120°，然后求出∠EFG=∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE=FD．
②过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，首先证明∠GEF=∠HDF，再证明△EGF≌△DHF可得FE=FD．
解答 
解：（1）如图a所示：
（2）①EF=DF，
如图b，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FK，
在四边形BGFH中，∠GFH=360°-60°-90°×2=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B=60°，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
在△AFC中，∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-60°=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFG=∠DFH}\\{∠EGF=∠DHF=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE=FD．
EF=FD仍然成立．
②如图c，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心，
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF与△DHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠HDF}\\{∠FGE=∠FHD=90°}\\{FG=FH}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．
点评 此题考查全等三角形的判定方法和性质定理，以及复杂作图，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，掌握全等三角形的判定：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
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如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论正确的有（ ）个．
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
| A． | 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 | |
| B． | 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 | |
| C． | 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 | |
| D． | 以上均不正确 |
如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=120°，点C在$\widehat{AB}$上，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，当点C从点A运动到点B时，线段DE长度的变化情况是（ ）| A． | 先变小，后变大 | B． | 先变大，后变小 | ||
| C． | DE与OD的长度保持相等 | D． | 固定不变 |