Question

已知如图，△ABC中，AC=BC，BC与x轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，
（1）求出点A、B、C的坐标及该抛物线的解析式；
（2）求线段AD的长．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）对于抛物线解析式，令x=0，得到y的值，确定出C坐标，由BC平行于x轴，确定出B纵坐标，利用抛物线的对称性确定出B横坐标，进而确定出B坐标，得到AC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OA的长，确定出A坐标，将A坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由A的坐标，利用二次函数的对称性求出D坐标，即可确定出AD的长．

解答：解：（1）抛物线y=ax²-5ax+4，
令x=0，得到y=4，即C（0，4），OC=4，
∵抛物线对称轴为直线x=

5

2

，且B与C关于对称轴对称，
∴BC=AC=5，
∵BC与x轴平行，且C（0，4），
∴B（5，4），
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AO=

52-42

=3，即A（-3，0）；
将A（-3，0）代入抛物线解析式得：0=9a+15a+4，
解得：a=-

1

6

，
则抛物线解析式为y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=

5

2

，A与D关于对称轴对称，
∴D（8，0），
则AD=8-（-3）=8+3=11．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．