Question

如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．
（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；
（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）过点C作CH⊥FP于点H，然后求出∠CHP=∠CHG=90°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得FC=FP，再根据等边对等角可得∠FPC=∠FCP，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DPC=∠FCP，从而得到∠FPC=∠DPC，再利用“角角边”证明△CPH和△CPD全等，根据全等三角形对应边相等可得CH=CD，再求出CH=BC，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）连接PN，根据（1）得到△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，根据全等三角形对应角相等可得∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，然后求出∠GCP=

1

2

∠DCB=45°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得NC=NP，然后判断出△NCP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PC=

2

CN，连接DN，作NK⊥DN交DC的延长线于点K，根据同角的余角相等求出∠PND=∠CNK，表示出∠NPD=∠NCK=135°-∠PCD，然后利用“角边角”证明△NPD和△NCK全等，根据全等三角形对应边相等可得NK=ND，然后求出∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，再利用“边角边”证明△NAD和△NCD全等，根据全等三角形对应边相等可得NC=NA，从而得证．

解答：（1）证明：如图1，过点C作CH⊥FP于点H，
∴∠CHP=∠CHG=90°，
∵FE⊥平分PC，
∴FC=FP，
∴∠FPC=∠FCP，
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DPC=∠FCP，
∴∠FPC=∠DPC，
在△CPH和△CPD中，

∠FPC=∠DPC ∠D=∠CHP=90° CP=CP

，
∴△CPH≌△CPD（AAS），
∴CH=CD，
∵BC=CD，
∴CH=BC，
又∵AB⊥BC，CH⊥CP，
∴GC平分∠PGB；

（2）解：如图2，连接PN，由（1）知△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，
∴∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，
∴∠GCP=

1

2

∠DCB=45°，
∵FE⊥平分PC，
∴NC=NP，
∴△NCP是等腰直角三角形，
∴PC=

2

CN，PN=CN，
连接DN，作NK⊥DN交DC的延长线于点K，
则∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°，
∴∠PND=∠CNK，
∵∠NPD=45°+（90°-∠PCD）=135°-∠PCD，
∠NCK=180°-45°-∠PCD=135°-∠PCD，
∴∠NPD=∠NCK，
在△NPD和△NCK中，

∠PND=∠CNK PN=CN ∠NPD=∠NCK

，
∴△NPD≌△NCK（ASA），
∴NK=ND，
∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，
在△NAD和△NCD中，

AD=CD ∠NDK=∠NDA DN=DN

，
∴△NAD≌△NCD（SAS），
∴NC=NA，
∴PC=

2

AN．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，综合性较强，难度较大，关键在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．