Question

下列命题：①若a+b+c=0，则b²-4ac＜0；②若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c有两个不相等的实数根；③若b=a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有一个实数根为-1；④若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的是（　　）

• A、②④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：命题与定理

专题：

分析：由a+b+c=0得b=-（a+c），变形b²-4ac得到（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，于是可对①进行判断；当b=2a+3c，利用得到变形得到b²-4ac=4（a+c）²+5c²＞0，根据判别式的意义可对②进行判断；若b=a+c，原方程变形为ax²+（a+c）x+c=0，利用因式分解法解得x₁=-1，x₂=-

c

a

，于是可对③进行判断；利用反例对④进行判断．

解答：解：若a+b+c=0，则b=-（a+c），所以b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，所以①错误；
若b=2a+3c，b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4（a+c）²+5c²＞0，则一元二次方程ax²+bx+c有两个不相等的实数根，所以②正确；
若b=a+c，则ax²+（a+c）x+c=0，所以（x+1）（ax+c）=0，解得x₁=-1，x₂=-

c

a

，所以③正确；
若b＞a+c，设b=0，a=-1，c=-1，则-x²-1=0没有实数解，所以④错误．
故选C．

点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．