Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是边AB上的一动点，连接DP，

（1）若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A处，试求AP的长；

（2）点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A，B处，若P，A，B三点恰好在同一直线上，且AB=2，试求此时AP的长．

（3）当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G，将△DAP与△PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，请直接写出F到BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1或3；（3）

【解析】

（1）分两种情形：①当点在对角线上时，设，则，利用勾股定理进行求解；②当点在对角线上时，利用相似三角形的性质进行求解；

（2）设，则，分两种情形分别构建方程进行求解；

（3）作FH⊥CD于H，作FI⊥BC于I，设BG＝FG＝x，在Rt△GCD中运用勾股定理得出x的值，根据FH∥CG求出FH的长，即可得出GI的长，最后在Rt△FGI中运用勾股定理进行求解．

解：（1）①当点在对角线上时，如图1，

，，

，

由折叠性质，，，，

，

设，则，

，

，

解得，，

；

②当点在对角线上时，如图2，

根据折叠的性质可知，

，

，

，

长为或；

（2）①如图3，设，则，根据折叠的性质可知：

，，

，

，

即，

②如图4，设，则，

根据折叠性质可知：，，

，

，

即，

长为1或3；

（3）如图5，作FH⊥CD于H，作FI⊥BC于I，

根据折叠性质可知：AD＝DF＝3，BG＝GF，G、F、D三点共线，设BG＝FG＝x，

在Rt△GCD中，，

解得，，

∴DG＝DF+FG＝，CG＝BC﹣BG＝，

∵FH∥CG，

∴，

∴，

∵易知四边形FICH为矩形，

∴FH＝IC，

∴，

∴在Rt△FGI中，，

∴F到BC的距离为．