Question

【题目】已知直线y=2x+b与反比例函数y=的（k＞0）图象交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，点D为线段AC的中点，BD交y轴于点E．

（1）若k=8，且点A的横坐标为1，求b的值；

（2）已知△BEC的面积为4，则k的值为多少？

（3）在（2）的条件下，已知点E为△ABC的重心，且OE=2，求直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）b=6；（2）k=8；（3）

【解析】

（1）将点的横坐标代入解析式，即可求得点坐标为（1，8），再代入一次函数解析式即可求得；

（2）过点作轴与点，交轴于，易证，再分别设出每个点的坐标，即可表示出，因为点A既在抛物线上也在直线上，通过坐标进行转化化简后，可以求得；

（3）△BEC的面积为4，利用重心的性质：可知DE：BE=1：2，进而可以求得△ABC的面积为12，进而求得BC、AB，过点D作DHAB于H，交轴于K，通过平行线分线段成比例，分别可求得DK、KH，即可知A点坐标，代入一次函数解析式，即可求解．

解：（1）∵，则反比例函数解析式为，将点A的横坐标代入解析式，

解得，故点坐标为（1，8），再将点A代入一次函数解析式得，

解得=6；

（2）过点作轴与点，交轴于，则有，

∴，

∵为直角三角形，且点为中点，

∴，即，

∴，

在和 中 ，

∴，

∴，

设点B的坐标为（，），则A点的坐标为（，），C点的坐标为（，），

G点坐标为（，），F点坐标为（，），

∴ ，

而点A也在一次函数图像上，故，代入上式，整理得：

，即，而，

故，即；

（3）∵E为重心，根据重心的性质，

∴DE：BE=1：2，而，

∴，即，

∵D为AC中点，

∴，

∵，OE=，

∴BC=，

∴， 即AB= ，

过点D作DHAB于点H，交轴于点，

则有：，DH为中位线，

∴， 即，

求得：，，

即点A坐标为（，6），再代入中，解得：．

故直线AC的解析式为：．